shkolaw.in.ua 1
УДК 515.2


ПРОЕКТИВНИЙ СПОСІБ УТВОРЕННЯ ВІЗІЄРИ
Коваль Г.М., к.т.н.

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут"

Тел.: (044) 454-94-46
Анотація – наведено спосіб проективного утворення однієї з визначних плоских раціональних кривих третього порядку – візієри. Для утворення візієри застосовані проективні пучки прямих першого та другого порядків, кожен з яких заданий трьома незалежними прямими.
Ключові слова – візієра, раціональна крива, точки перегину, пучки прямих, особлива точка.
Постановка проблеми. Плоска раціональна кубічна крива, що відома під назвою візієри Пеано, може бути утворена таким чином: змінна пряма l, яка проходить через початок координат, перетинає коло та пряму у=а відповідно в точках К та Р (рис.1). Середина відрізка КР – точка L – описує криву, названу візієрою [1]. В статті пропонується спосіб утворення візієри за допомогою двох проективних пучків прямих.

Аналіз останніх досліджень. Застосування для утворення кривих двох проективних пучків прямих, кожен з яких заданий трьома незалежними елементами, дозволило запропонувати спосіб побудови раціональної кривої третього порядку, яка проходить через три точки, в двох з яких задані дотичні, та має особливу точку, яка збігається з заданим центром пучка прямих першого порядку [4]. При цьому, якщо дві точки кривої, в яких задані дотичні, є точками перегину, то особлива точка S кривої не може бути заданa довільно і має в Р2 сталі координати S(2:-1:2) [5]. З'ясувалося, що на основі цього спосібу можна також отримати деякі з відомих плоских раціональних кривих третього порядку, наприклад, візієру Пеано.

Формулювання цілей статті. На основі способу утворення плоских раціональних кривих за допомогою двох проективних пучків прямих визначити криву лінію – візієру Пеано.


Основна частина. Параметричні рівняння візієри мають вигляд [1]:

(1)

Візієра (1) має ізольовану особливу точку S(0,0) та прямолінійну асимптоту 2у=а, яка має з кривою дотикання другого порядку.

Для утворення візієри за допомогою двох проективних пучків прямих в якості пучка прямих другого порядку обираємо пучок дотичних до кривої другого порядку, яка проходить через точки А, Е та С і дотична до прямих АВ та СВ (рис.2).



Рис.1. Візієра Рис.2. Пучки прямих Рис.3. Візієра в Р2
Прямі пучка, які проходять через точки А,Е та С, мають параметр t, який відповідно дорівнює 0, 1 та ∞.

Рівняння такого пучка прямих другого порядку в проективній системі координат АВСЕ має вигляд [3]:

(2)

Пучок прямих першого порядку задамо точкою S(2:-1:2) – центром пучка – та прямими SА, SЕ та SС, параметр t для яких відповідно дорівнює 0, 1 та ∞.

Рівняння такого пучка прямих першого порядку в Р2 має вигляд [4]:

(3)

Відповідні прямі пучків (2) та (3), перетинаючись, утворюють раціональну криву третього порядку, параметричні рівняння якої в Р2 запишемо в вигляді [5]:


(4)




де ρдовільний коефіцієнт,

Неявне рівняння кривої (4) має вигляд:

(5)

В А2 рівняння кривої (4), записане за допомогою формул переводу [2], має вигляд

(6)

де rА, rВ, rС – відповідно радіуси-вектори точок А, В та С ,



Для визначення коефіцієнтів рівняння (6) вибираємо певні точки на візієрі. Точки А та С розташовуємо в точках перегину візієри (рис.3), а точку Е вибираємо на осі симетрії кривої. Тоді точка В є точкою перетину прямих , дотичних до візієри в точках А та С відповідно (табл.1).
Табл.1. Параметри та координати базисних точок Р2





А

В

С

Е

Параметр р






0

Координати в А2









Параметр t

0






1

Координати в P2

1:0:0

0:1:0

0:0:1

1:1:1


Для визначення величини коефіцієнта v необхідно визначити координати точки ЕАВ. Точку ЕАВ знаходимо як точку перетину прямих АВ та СЕ, рівняння яких відповідно мають вигляд:

та

Тоді маємо:

При цьому коефіієнт , або


Таким чином, якщо точки А та С є точками перегину кривої, коефіцієнт v не залежить від параметру а і є сталою величиною.


При v=2.8 рівняння (6) приймає вигляд:

(7)

Для визначення координат та параметра третьої точки перегину в рівняння кривої (5) підставимо рівняння х1=0 прямої АС, яка містить дві точки перегину кривої, тоді маємо:

(8)

Якщо в виразі (8) х0=0, то отримуємо задану точку перегину С(0:0:1), при х2=0 маємо другу задану точку перегину А(1:0:0). При х0=2 отримуємо третю точку перегину – точку R(1:0:-1), параметр t якої дорівнює -1.

Рівняння дотичної прямої до кривої (4) має вигляд:

(9)

де t1 – значення параметра t в точці дотику.

При t1=-1 рівняння дотичної (9) приймає вигляд:

, (10)

або, в параметричному вигляді:

Якщо в рівняння (10) підставити вирази з рівняння кривої (4), тоді маємо: або Це свідчить про те, що пряма (10) дотикається до кривої (4) в її точці перегину R і, відповідно, не має інших точок перетину з кривою.

Визначимо також точки розриву кривої (7), розв'язавши рівняння . При цьому маємо: тобто крива має одну дійсну точку розрива з параметром t=-1.


Таким чином, крива (7) в точці R має нескінченно віддалену точку перегину, а рівняння (10) є рівнянням асимптоти кривої. В афінній площині рівняння асимптоти (10), записане за допомогою формул переводу [2], має вигляд у=а/2.

Визначимо афінні координати особливої точки S кривої (7). Параметри tS1.S2 особливої точки S кривої (7) визначаються за формулою [4] де а:b – проективні координати точки S. При а:b =2:-1:2 маємо Афінні координати точки S(2:-1:2) можна визначити, підставивши параметри точки S в рівняння (7). При цьому отримуємо:

тобто особлива точка кривої (7) має координати S(0;0).

Для кривої (7) перевіримо виконання умови, необхідної для утворення кривої (1), а саме рівність відрізків КL та LP.

Для цього через точку О (0,0) проведемо пряму у=kх. Ця пряма перетинає коло в точках О(0;0) та а пряму у=а – в точці Р(а/k;a).

Для визначення точки перетину прямої у=кх з кривою (7) в рівняння прямої підставимо вирази з формули (7), маємо:


При отримане рівняння має вигляд


або .

При параметрах отримуємо точку S(0;0), параметр

дозволяє визначити координати точки L – третьої точки перетину прямої у=kx з кривою (7).

Для визначення координат точки L значення параметра t3 підставимо в рівняння кривої (7), тоді маємо



Перевіримо виконання умови KL=LP. Для точок К(хKK), L(xL,yL) та Р(хPP) наведене рівняння має вигляд:

, або

. Підставивши в отримане рівняння координати x та у точок К, L та Р, маємо:



. (11)

Після спрощень виразу (11) отримуємо тотожність 0=0, яка свідчить про те, що для кривої (7) умова KL=LP виконана.

Змінимо параметризацію кривої (7) таким чином, щоб в точках А та С криві (1) та (7) мали однакові параметри.


Параметри кривих (1) та (7) – р та t відповідно– зв'язані залежністю ,і після підстановки цього виразу в рівняння (7) отримуємо рівняння візієри (1).

Висновки. Таким чином, встановлено, що спосіб утворення кривих за допомогою двох проективних пучків прямих першого та другого порядків дозволяє отримати візієру – одну з визначних плоских раціональних кривих третього порядку, особлива точка якої є ізольованою точкою.
Література

1. Смогоржевский Ф.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка / Смогоржевский Ф.С., Столова Е.С. // – М.: Физматгиз, 1961. – 263 с.

2. Надолинный В.А. Основы теории проективных рациональных поверхностей /Автореферат дисс. … докт. техн. наук, 05.01.01.-М., 1989.- 30 с.

3. Граве П.П. О построении кривых третьей степени / Казань, 1898.- 402 с.

4. Коваль Г.М. Конструирование плоских рациональных кривых третьего порядка с помощью пучков прямых первого и второго порядков // К.: КПИ, 1985.–11 с.– Деп. в УкрНИИНТИ 28.08.85., №1871–-Ук85.

5. Коваль Г.М. Конструирование рациональных кривых третьего порядка с точками перегиба // Прикладная геометрия и инженерная графика. - К.: Будівельник, 1987.- Вып.44.- С. 67-68.
ПРОЕКТИВНЫЙ СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ ВИЗИЕРЫ
Г.М. Коваль
Аннотация – описан проективный способ получения одной из замечательных плоских рациональных кривых третього порядка – визиеры. Для получения визиеры использованы проективные пучки прямых первого и второго порядков, каждый из которых задан тремя независимыми прямыми.
Projective method of deriving of a viziera.
G.M. Koval
Summary

The projective method of deriving of one of the remarkable flat rational curves of the third order - viziera is offered. In order to obtain a viziera the projective bundles of straight lines of the first and second orders are utilised. Each bundle is given by three independent straight line.