shkolaw.in.ua 1

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики


ІІ етап
6 клас

1. Замініть літери цифрами так, щоб була правильна рівність:

АААА + ВВВ + С = 2008,

якщо відомо, що однакові літери відповідають однаковим цифрам, різні – різним.


  1. Розділіть заданий круг трьома прямолінійними розрізами на:

а) 4 частини; б) 5 частин; в) 6 частин; г) 7 частин.


  1. На прямій відмічено декілька точок. Між кожними сусідніми точками вставили по дві точки. Отримали нову систему точок, яка складається із відмічених та вставлених точок. З новою системою точок проробили ще раз подібну процедуру. Чи можна в результаті отримати: а) 2008 точок?, б) 2009 точок?




  1. Кожен з трьох хлопчиків або завжди говорить правду, або завжди неправду. На питання «Чи є серед них хоча б один брехун серед двох інших?» перший відповів: «Ні», другий відповів: «Так». Яку відповідь дав третій хлопчик. Відповідь обґрунтуйте.



Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап

7 клас



  1. У десятковому записі числа викреслили 2009 цифру після коми. Що більше: одержане число чи ?




  1. На клітчастому папері намальовано квадрат зі стороною 5 клітинок. Його слід розділити на 5 частин однакової площі, проводячи відрізки в середині квадрату по лініям сітки.




  1. Двоє коней почали пити воду з одного повного баку. Гнідий кінь випив половину третини чверті півбака, а другий – чверть половини третини півбака. Який з коней випив більше води?




  1. Дана смужка із 2008 клітинок. Двоє по перзі зафарбовують клітини: перший завжди зафарбовує п’ять довільних поряд послідовних клітинок, другий – чотири клітинки підряд. Причому, вже зафарбовану клітину другий раз фарбувати неможна. Програє той, хто не зможе зробити наступний хід. Хто виграє при правильній грі – перший чи другий? (Рис. 1).


















































Рис. 1

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап


8 клас



  1. Розв’яжіть рівняння:




  1. Компанія ОГОГО обіцяє на кожну вкладену гривню через 10 років виплатити 20082008200820092009 гривен, а компанія ОХОХО – 20092009200920082008 гривен. Підкажіть в яку компанію вигідніше вкласти гроші?



  1. П’ять прямих на рисунку перетинаються в одній точці. Відомо, що 1=50°, 2=3=20°, 4 вдвоє більше 5. Знайдіть величину кута 5.








2

5

1

4

3


  1. Дана смужка із 2008 клітинок. Двоє по черзі зафарбовують клітини: перший завжди зафарбовує п’ять довільних поряд послідовних клітинок, другий – чотири клітинки підряд. Причому, вже зафарбовану клітинку другий раз фарбувати неможна. Програє той, хто не зможе зробити наступний хід. Хто виграє при правильній грі – перший чи другий? (Рис. 1).


















































Рис. 1

  1. Відрізок AB довжиною 2009 мм разбито на n рівних відрізків, на кажному з яких, як на діаметрі, побудоване коло (на рисунку 2 зображено приклад разбиття на 7 рівних відрізків). Визначте, які значення може приймати сума довжин всіх цих кіл?


A B

Рис. 2
Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап

9 клас



  1. Скласти квадратний тричлен з цілими коефіцієнтами такий, щоб один з його коренів був




  1. Побудувати графік функції:




  1. Микола написав на дошці декілька цілих чисел, Оля записала під кожним Миколиним числом його квадрат, а Льоня додав всі написані на дошці числа і отримав 2009. Доведіть, що або Оля, або Льоня зробили помилку.




  1. Середину більшої бічної сторони прямокутної трапеції з’єднали з вершинами трапеції. При цьому трапеція розділилася на три рівнобедрених трикутники. Знайдіть величину гострого кута трапеції.




  1. Населення острова складається із лицарів – що говорять завжди правду, та брехунів – що завжди брешуть. Трьом мешканцям цього острова, які йшли разом, зустрівся турист, який кожного запитав: «Скільки лицарів серед Ваших супутників?». Перший відповів: «Один». Другий сказав: «Жодного». Що сказав третій супутник?


Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.


Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап


10 клас



  1. Скласти кубічний многочлен з цілими коефіцієнтами такий, щоб один з його коренів був




  1. Побудувати на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівності:




  1. Про функцію відомо, що:

    1. визначена на множині додатних дійсних чисел і набуває тільки додатних значень;

    2. і для всіх додатних та

Знайти суму:


  1. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 1 і 2009. Знайти площу цієї трапеції, якщо в неї можна вписати коло.




  1. Абітурієнт приймав участь у тестуванні. Воно проводилося з трьох предметів з рівною кількістю тестових завдань з кожного предмету. З математикою абітурієнт впоровся успішно, виконавши 19 завдань, з фізики вдалося правильно відповісти рівно на 30% запропонованих питань, а з української мови результат виявився гіршим, ніж з фізики. Загалом абітурієнт правильно виконав рівно половину від загальної кількості тестових завдань. З’ясуйте, скільки завдань містив тест з кожного предмету.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.

Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

ІІ етап
11 клас


  1. Абітурієнт приймав участь в тестуванні. Воно проводилося з трьох предметів з рівною кількістю тестових завдань з кожного предмету. З математикою абітурієнт впоровся успішно, виконавши 19 завдань, з фізики вдалося правильно відповісти рівно на 30% запропонованих питань, а з української мови результат виявився гіршим, ніж з фізики. Загалом абітурієнт правильно виконав рівно половину від загальної кількості тестових завдань. З’ясуйте, скільки завдань містив тест з кожного предмету.




  1. Про функцію відомо, що:

    1. для всіх додатних та ;



Знайти:

  1. Побудувати на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівності:




  1. Доведіть, що висота прямокутного трикутника, у якого всі вершини знаходяться на параболі у = х2 і гіпотенуза трикутника паралельна осі абсцис, дорівнює 1.



  1. Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат. Знайдіть найбільший можливий кут між прямою і площиною

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Користування калькулятором заборонено.